LINGKARAN

Dalam geometri euklid yang diterangkan dalam mata kuliah Geometri Analitik, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar. Lingkaran memiliki beberapa elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu elemen yang berupa titik, garis, dan luas.

Ø   Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :

Titik pusat (P)

Merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap. Seperti yang tergambar pada gambar dibawah ini. Titik pusat terletak di tengah lingkran dan jarak titik pusat pada garis lingkaran jaraknya selalu sama dengan sisi lainnya.

Gambar 1

Titik Pusat Lingkaran

Ø   Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :

1.             Jari-jari (R)

Merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.

2.             Tali busur (TB)

Merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.

3.             Busur (B)

Merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.

4.             Keliling lingkaran (K)

Merupakan busur terpanjang pada lingkaran.

5.             Diameter (D)

Merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.

6.             Apotema
Merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Ø   Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :

1.             Juring (J)

Merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.

2.             Tembereng (T)

Merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.

Gambar 2

Tembereng Lingkaran

3.             Cakram (C)

Merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Luas lingkaran

Gambar 3

Luas Lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus phi kali r kuadrat

Penjumlahan elemen juring

Gambar 2.4

Jumlah Elemen Juring

Luas lingkaran selain dihitung dengan rumus langsung juga dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Keliling lingkaran memiliki rumus:

Nilai phi  adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D.

Sekilas Tentang Awal Mula Matematika

Cabang pengkajian yang dikenal sebagai sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika pada masa silam.

Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton 322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM),Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras, yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika.Kata "matematika" itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα(mathema), yang berarti "mata pelajaran".Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.

Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad

kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru,

berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.

sumber : www.wikipwdia.com

Mengenal Ilmu Statistika Lebih Dekat

Statistik (atau perangkaan) adalah sains dan aplikasi dalam membangunkan pengetahuan manusia melalui penggunaan data empirikal. Statistik berasaskan teori statistik yaitu salah satu daripada cabang matematik. Dalam teori statistik, kerawakan dan ketidakpastian dimodelkan berasaskan teori kebarangkalian. Statistik termasuk perancangan, meringkaskan, dan memahami pemerhatian yang tidak menentu. Tujuan statistik adalah menghasilkan maklumat "terbaik" daripada data yang ada, sesetengah orang menggolongkan statistik sebagai cabang teori keputusan.

Asal bidang statistik
Perkataan statistik berasal dari perkataan Latin moden frasa statisticum collegium (syarahan mengenai keadaan semasa), yang mana perkataan bahasa Itali perkataan statista, yang bererti "negarawan" atau "ahli politik".

Masih hangat dari ingatan kita tentang hasil survey fenomenal pada tahun 2002 dari seorang dosen filsafat Universitas Gadjah Mada (Iip Wijayanto) yang menyebutkan bahwa 97,05% Mahasiswi di Yogyakarta sudah kehilangan kewanitaannya. Lepas dari kebenaran informasi tersebut, yang perlu kita kritisi adalah:

1. Bagaimanakah sampling dilakukan (metode sampling)?
2. Berapa besar samplenya?
3. Berapa standar deviasi dari datanya?
4. Berapa % Error-marginnya?, dan masih banyak lagi pertanyaan-pertanyaan mendasar yang perlu dikemukakan untuk memastikan kesimpulan dari penelitian tersebut dapat diterima.

Untuk itulah marilah kita mengenal tentang dasar-dasar dari ilmu statistik yang akan dipaparkan pada pembahasan berikut ini secara sederhana. Disamping itu juga hal ini perlu dilakukan karena untuk dapat mengaplikasikan Six Sigma secara benar, pemahaman ilmu statistik dalam kerangka berpikir ilmiah merupakan suatu kebutuhan. Statistik ialah ilmu yang membahas tentang pengumpulan, penyusunan, analisa, interpretasi dan penyajian data. Tujuan penggunaan Statistika adalah untuk memprediksi dan mencegah suatu keabnormalan proses, bukan hanya sekedar inspeksi dan deteksi terhadap keabnormalan proses. Secara umum, Ilmu statistik ada 2 jenis yaitu :

• Statistik Deskriptif (Memberikan informasi tentang kinerja dari sebuah proses).
• Statistik Inferensial (Memberikan informasi tentang prediksi yang berhubungan dengan kinerja sebuah proses atau Peluang).

DATA
Dalam melakukan suatu observasi dibutuhkan data-data yang accountable. Data yang baik apabila diolah maka akan menghasilkan informasi yang berguna atau bermanfaat. Jadi yang dimaksud dengan data adalah sekumpulan fakta, angka atau segala sesuatu yang dapat dipercaya kebenarannya sehingga dapat digunakan sebagai referensi dalam mengambil keputusan.

JENIS DATA
Data variable : disebut juga data continues atau measurement. Data ini berasal dari hasil pengukuran dan nilainya berada dalam suatu interval atau jangkaun tertentu, contoh : Hasil pengukuran berat badan dari 46 Inspector di PQA, hasill pengukuran panjang Frame Main DV28EC selama 1 bulan, dll.
Data attribute : disebut juga data diskrit atau data non continues. Umumnya data ini merupakan hasil perhitungan dan berupa bilangan bulat, contoh : Jenis suku bangsa Inspector PQA, jenis kelamin (pria/ wanita), jumlah karyawan yang tidak masuk per hari, dll.

Alasan Perlunya Pengumpulan Data

1. Untuk mengumpulkan fakta-fakta tentang suatu masalah atau kesempatan yang dapat dikuantifikasi.
2. Untuk menyampaikan fakta-fakta ini dalam bahasa yang sama.
3. Untuk menetapkan informasi mendasar tentang sebuah proses.
4. Untuk mengukur jumlah dan arah perubahan-perubahan yang terjadi.
5. Untuk membandingkan gambaran proses sebelumnya dan sesudahnya
6. Untuk memfasilitasi analisa keuntungan (Cost Benefit Analysis) dari solusi yang diusulkan.
7. Untuk mengkuantifikasi dampak dari sebuah solusi.

Perlu diketahui bahwa data merupakan sebuah langkah awal dalam suatu analisa untuk mengambil keputusan. Jika data yang kita kumpulkan tidak sistematis, akurat dan aktual maka keputusan yang dihasilkan tentunya tidak akan akurat dan tidak dapat dipertanggungjawabkan kebenarnnya. Dengan kata lain data yang dikumpulkan akan terbuang sia-sia. Jadi perlu dipikirkan terlebih dahulu point-point tentang apa saja yang akan dikumpulkan sebelum kita memulai aktifitas pengumpulan data, misalnya : Jenis defect, waktu, biaya, dll.

POPULASI DAN SAMPEL 

Populasi ialah keseluruhan object yang ingin kita ukur dan analisa. Sedang sample ialah sebagian (kecil) dari populasi dimana kita benar-benar melakukan pengukuran dan dengan ini kita dapat menarik kesimpulan.
Dalam suatu penelitian atau observasi terhadap suatu object ekosistem yang jumlah populasinya besar. Metode sampling akan dipilih dengan mempertimbangkan keterbatasan waktu, biaya dan kepraktisan. Sampling secara statistik memungkinkan kita mengumpulkan informasi tentang suatu populasi tanpa kita harus meneliti secara keseluruhan.

Salah satu kelebihan kita menggunakan sampling secara statistik yakni kita dapat menentukan tingkat akurasi dan ketepatan pengujian kita sebelum disebarkan. Dalam penerapannya untuk membedakan antara populasi dan sample, para ahli statistik memberikan simbol yang berbeda dan perhitungan yang sedikit berbeda.

 

Sebelum kita membahas lebih jauh lagi, ada beberapa terminology yang perlu diketahui terlebih dahulu, yakni :

1. Populasi
Seluruh item yang membentuk suatu kelompok yang menarik untuk diteliti dan populasi ini harus ditentukan sebelum kita memutuskan untuk mengambil sampling, contoh : semua supplier part stamping untuk TEI, part stamping yang digunakan pada drive model DW224EV, dll.

2. Kerangka sampling
Sebuah daftar , data base atau pengenal khusus lainnya tentang item-item yang akan diikutsertakan menjadi sample, contoh : Bill Of Material yang mencakup semua stamping part pada drive model DW224EV, Data di SAP yang menyimpan list semua supplier stamping part untuk TEI, dll.

3. Unit sampling
Item sesungguhnya yang diikutkan dalam sampling, contoh: Sebuah Screw, dll.

4. Bias
Merupakan perbedaan antara data yang kita kumpulkan dalam sample dengan “kondisi sebenarnya” dari populasi. Hal ini dapat mempengaruhi hasil interprestasi kita terhadap hasil statistik yang dihasilkan (D.Manggala, 2005).

Jenis-Jenis Sampling

Menurut Augustine A.Stagliano dalam bukunya Rath and Strong’s Six sigma Advance Tool Pocket Guide (2004) disebutkan bahwa sampling diklasifikasikan menjadi beberapa jenis :
Ditinjau dari segi jenisnya, sampling dikategorikan menjadi 2, yakni :

Sampel Judgmental

·  Sampel dipilih berdasarkan pengetahuan dan pengalaman.

·  Hanya sebagian kecil dari populasi yang diikutsertakan dalam proses seleksi.

·  Sampel dianggap mewakili populasi.

·  Contoh : PT. Livatech bermaksud mengadakan customer satisfication survey. Dari 20 customer yang ada hanya diambil sample 5 customer yang utama saja dengan pertimbangan kelima customer tersebut ordernya diatas 100.000 Part/ bulan.

Sampel Statistical

1. Sampel dipilih secara acak.
2. Seluruh populasi diikutsertakan dalam proses seleksi.
3. Sampel mewakili seluruh populasi. Contoh : PQA mengambil sampel Shaft PU (L) DV28EC dari 10 box yang ada dengan masing-masing box diambil 50 Pcs secara acak.

Metode Sampling

Sekurangnya ada 3 metode sampling, yakni :

1. Systematic sampling : Dalam pengambilan sampel, metode ini menekankan pengambilan yang teratur dengan interval frekuensi yang jelas, misalnya : setiap pengambilan sampel dilakukan diawal shift, pengambilan sampel setiap kelipatan 100 Pcs, dll.
2. Random sampling : Pengambilan sampel ini dilakukan secara acak dan umumnya dibantu dengan statistical software (MINITAB). Metode ini dipandang cukup aman dari bias.
3. Stratified sampling : Ciri khas dari metode sampling ini adalah adanya penggolongan sebuah group yang sangat besar menjadi sub-group dan dalam sub-group ini baru dilakukan pengambilan sampel secara sistematik maupun random.

Pengukuran Central Tendency

Untuk mengukur Central Tendency (diterjemahkan secara bebas = ukuran letak) biasanya menggunakan indikator-indikator mean (rata-rata), median (nilai tengah) dan modus (nilai yang sering muncul).

Mean (rata-rata) ialah jumlah semua observasi dibagi dengan banyaknya jumlah data. Nilai mean sangat dipengaruhi oleh nilai-nilai yang ekstrim.
Median ialah Nilai tengah dari sederetan data yang sudah terurut mulai dari nilai terkecil hingga terbesar (diranking). Median tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai yang ekstrim. Jika banyaknya data ganjil maka median sama dengan nilai data yang tepat berada ditengah-tengah. Namun jika banyaknya data genap maka median sama dengan rata-rata dari dua nilai yang berada ditengah. Hal inilah yang dapat dikatakan bahwa median sama dengan 50th percentile atau kuartile kedua (Q2). Sebagai informasi tambahan saja bahwa median umumnya digunakan pada distribusi yang miring (skew) sedang distribusi yang seimbang umumnya memakai mean.
Modus adalah nilai yang paling sering muncul.

Pengukuran Variasi
Pengertian variasi dalam konteks ini diterjemahkan sebagai ukuran penyebaran.
Parameter-paremeter yang umum dipakai adalah :
- Range (jangkauan) ialah perbedaan antara nilai terbesar dengan nilai terkecil.
- Variance ialah rata-rata kuadrat jarak dari tiap-tiap titik ke rata-rata.
- Standar deviasi merupakan akar dari variance.

Dengan sedikit penjelasan diatas tentunya kita akan mengetahui bahwa dengan rata-rata saja tidak cukup untuk membuat suatu kesimpulan dari data yang kita analisa. Kita perlu mengukur variasi tentunya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini :
Ada 3 buah perusahaan multinasional di Batam sedang disurvey, sampling dilakukan dengan mengambil 5 orang karyawan tiap-tiap perusahaan dengan hasil berikut (dalam Juta Rupiah). Tujuan dari survey ini adalah untuk membuktikan apakah bisa dikatakan gaji karyawan di Batam itu “rata-rata sama Rp. 3.000.000,00”?

Dengan melihat data diatas belum dapat dikatakan bahwa dua group yang mempunyai mean dan median sama itu dikategorikan sama secara statistik.

Jenis Distribusi

Pada pembahasan dimuka telah disinggung tentang klasifikasi data bahwa dapat dikategorikan dalam data attribute dan data variable (continuous data) sehingga distribusi data-pun secara umum dibagi menjadi 2, yakni :

1. Discrete distributions (untuk non continuous data).
2. Continuous distributions.

Bentuk-bentuk Distribusi
Secara umum, bentuk-bentuk ditribusi adalah sebagai berikut :
- Simetris, bila rata-rata = median atau angka skewness = 0
- Right Skewed (Positif), bila rata-rata > median
- Left Skewed (Negatif), bila rata-rata <>

Untuk mempercepat dan membantu kita dalam mengetahui persebaran data, penggunaan histogram merupakan suatu langkah yang cepat untuk mengetahui bentuk distribusi suatu data.

Discrete Distributions

Jenis discrete distributions yang umum sering dipakai antara lain :

1. Binomial distributions - Untuk lebih mudah dalam pemahaman, mungkin akan lebih mudah diterima jika menggunakan sebuah contoh : Anda seorang pemain Futsal yang sedang melatih kemampuan untuk menendang bola ke gawang dari luar daerah Keeper. Anda melakukan 6 tendangan setiap set dengan posisi serong kiri-serong kanan dan depan, masing-masing 2 bola (total 6 bola setiap set). Dan dari sekian kali set, setelah dirata-rata anda mendapatkan 3 Gol dari 6 kali tendangan. Dalam hal ini nilai kemungkinan GOL adalah 0,5. Dari data ini kita dapat mengitung kemungkinan akan GOL jika menendang 300 kali.

2. Poisson distributions - Banyak analisis dilakukan untuk jumlah suatu kejadian per area of opportunity dimana area per opportunity dapat berupa waktu, ruang maupun area. Misalnya : Anda sedang mengantri di Bank dan masih menunggu lama sekali untuk dilayani. Mungkin anda menghitung dalam hati berapa pelanggan yang datang setiap satu menit. Dalam satu menit pertama ada sepuluh orang yang datang berbarengan, menit ketiga ada dua orang, menit ke sepuluh ada tujug orang datang. Jika anda setiap hari menghitung laju kedatangan pelanggan per menit, dalam sebulan anda akan mempunyai rata-rata laju kedatangan pelanggan per menit. Disini anda dapat dikatakan punya distribusi yang disebut dengan Poisson disitribution. Distribusi ini sangat penting dalam analisis operasi terutama dalam analisis produktivitas sistem atau peralatan yang menggunakan teori antrian atau Queue theory.(D.Manggala, 2005)

Continuous Distributions
Distribusi yang umum dipakai pada jenis Continous distribution, antara lain :

1. Normal Distributions Banyak kejadian yang muncul secara acak (random) menghasilkan data dengan distribusi bell shaped. Kurva yang menghubungkan puncak-puncak batang disebut Kurva Peluang Normal yang digunakan untuk meng-estimasi Distribusi Normal dari kejadian-kejadian yang muncul secara acak (random). Dalam kasus-kasus yang umum terjadi, asumsi yang digunakan dalam analisis adalah bahwa data yang kita dapatkan terdistribusi dengan normal dan simetris. Hal ini berarti bahwa kita perlu terlebih dahulu menguji bisa tidaknya suatu group dikatakan terdistribusi secara normal. Dan jika anda menggunakan statistical software (MINITAB), menu pilihan untuk menguji kenormalan distribusi telah tersedia dan juga dapat melihat bentuk dari kurvanya (simetris ataukah miring).

2. Exponential Distribution

Secara sederhana distribusi eksponensial dapat dijelaskan sebagai suatu distribusi dari data-data yang menggambarkan periode (waktu) ataupun ruang diantara dua kejadian. Contoh yang paling umum dalam penerapan distribusi eksponensial ini adalah dalam mengukur periode kerusakan sebuah mesin (MTBF = Mean Time Between Failure)

Mengenal Confidence Interval

Sebagaimana telah disebutkan pada penjelasan diawal bahwa kita mengambil suatu kesimpulan berdasarkan analisis yang dilakukan hanya atas dasar sampel yang diambil. Kenyataan yang terjadi bahwa (misal : rata-rata) rata-rata sampel itu ternyata tidak sama persis dengan rata-rata populasi. Dengan kata lain tentunya dalam hal ini terdapat perbedaan rata-rata antara sampel satu dengan sampel lainnya dalam satu populasi yang sama (populasi yang diambil). Perbedaan hasil statistik antara satu sampel dengan sampel lainnya inilah yang disebut dengan “sampling error”. Jika kita memperbesar ukuran sample maka akan menghasilkan “sampling error” yang lebih kecil. Para ahli statistik mengeluarkan konsep estimasi interval dimana nilai karakteristik suatu populasi diperkirakan dengan suatu tingkat kepastian akan berada didalam suatu interval. Interval ini disebut denganConfidence Interval Estimated. Ini merupakan suatu konsep yang sangat penting dalam analisis statistik. Pada umumnya, analisis six sigma menggunakan Confidence Interval Estimated sebesar 95%, hal ini berarti bahwa : jika semua sampel diseleksi dalam ukuran “n”, maka 95% dari sampel itu akan memasukan parameter populasi dalam interval hasil estimasi. Untuk membuat estimasi interval, anda mesti mengetahui statistik dari sampel yang anda gunakan untuk menganalisis karakteristik populasi dan distribusi samplingnya.

Confidence interval = Titik estimasi sampel + Margin of error

Mengenal Hypothesis Test

Seringkali kita dihadapkan pada keharusan untuk membandingkan 2 buah group data atau lebih, hal ini tentunya membutuhkan suatu analisis. Disinilah konsep Hypothesis test diperlukan. Sebelum masuk pada pembahasan lebih jauh, terlebih dahulu perlu diperkenalkan tentang Type I Error dan Type II Error. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini. Masih hangat dalam ingatan kita tentang kasus Roy Marteen tersangka Narkoba. Tentunya hipotesis awal dia dianggap “tidak bersalah” dan hipotesis alternatifnya tentu saja dia “bersalah”

Ho = Roy Marteen tidak bersalah

Ha = Roy Marteen bersalah Test hipotesis ini bertujuan membuktikan apakah keputusan yang kita ambil benar-benar sesuai dengan kenyataan yang sebenar-benarnya. Oleh karena itu kondisi antara keputusan yang kita ambil dengan kenyataan yang sebenarnya dapat digambarkan sebagai berikut :

Dari Matriks diatas dapat dilihat bahwa ada 2 kemungkinan hakim melakukan kesalahan : Kesalahan tipe I : Memenjarakan orang yang tidak bersalah

Kesalahan tipe II : membebaskan orang yang bersalah

Kemungkinan melakukan kesalahan tipe I didefinisikan sebagai alpha (siginificance level), dimana 0 Kurang dari atau sama dengan alpha dan alfa kurang dari atau sama dengan 1. Kemungkinan melakukan kesalahan tipe II didefinisikan sebaga Betta, dimana 0 kurang dari atau sama denga betta dan betta kurang dari atau sama dengan 1.

Pada umumnya, kuputusan kritis berasal dari kesalahan tipe I.

Pengujian Perbedaan Rata-Rata dari Dua Distribusi Kontinyu

Secara Umum, hypothesis dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

Untuk menguji rata-rata dengan test hypothesis biasanya dilakukan dengan t-test, dengan langkah sederhana berikut :

1. Definisikan parameter yang diujikan dalam Ho dan Ha
2. Pilih confidence interval yang diinginkan, misalnya 95% atau 99% atau 99,9% (alpha =0,05 atau 0,01 atau 0,001)
3. Tentukan besar sampel dan lakukan t-test pada data tersebut dengan statistical software(MINITAB) atau software lainnya.
4. Jika nilai p kurang dari nilai alpha kita dapat merejectkan Ho dan memilih Ha dengan tingkat keyakinan sebesar (1-p)*100% (karena kita melakukan two-tail test. Dan jangan lupa harga harga nilai p yang didapat dikalikan dengan 2 sebelum dibandingkan dengan nilai alpha.
5. Jika nilai p lebih dari atau sama dengan alpha maka bisa dikatakan bahwa kita tidak punya bukti yang kuat untuk merejectkan Ho

Catatan : Distribusi t merupakan pooled distribution dari standard deviasi dua sampel yang berbeda. Untuk keterangan lebih lengkap silahkan membaca buku-buku tentang statistik. Untuk contoh sederhana, perhatikan kasus berikut ini : Sebuah perusahaan ingin melakukan pengujian statistik untuk membuktikan apakah terdapat perbedaan penggajian antara pegawai pria dan wanita. Hal ini dilakukan untuk menepis isu adanya diskriminasi terhadap pegawai wanita, yaitu pegawai wanita diberikan gaji yang lebih rendah dari pegawai pria (pada golongan dan masa kerja yang sama). Oleh karena itu departement Sumber Daya Manusia Mengumpulkan data gaji pegawai dan membandingkan gaji pegawai pria dan wanita setelah dikelompokan pada golongan dan masa kerja yang sama. Dalam melakukan pengujian, hypothesisnya adalah :

Ho = Gaji pegawai pria dan wanita adalah sama

Ha = Gaji pegawai pria tidak sama dengan pegawai wanita

Langkah berikutnya adalah menentukan confidence interval, yakni dipilih 95% (alpha = 0,05) lalu dilakukan pengujian dengan MINITAB yang menghasilkan p value sebesar 0,34 atau untuk two-sided test menjadi 0,68 Karena p lebih besar dari alpha (jauh lebih besar dari alpha) maka dapat dikatakan bahwa kita tidak mempunyai bukti untuk menolak hipotesis awal yakni bahwa gaji pegawai pria dan wanita adalah sama. Dengan kata lain dapat disimpulkan bahwa dengan data yang ada kita perpendapat tidak ada perbedaan antara gaji pegawai pria dan wanita (D. Manggala, 2005).

Pengujian Perbedaan antara Dua proporsi

Untuk pengujian proporsi, persamaan yang umum dipakai adalah

Langkah pengujiannya hampir sama dengan t-test untuk rata-rata, yaitu :

1. Definisikan parameter yang diuji dalam Ho dan Ha
2. Pilih confidence interval yang diinginkan, misalnya 95% atau 99% atau 99,9% (alpha =0,05 atau 0,01 atau 0,001).
3. Tentukan besar sampel dan lakukan Z-test pada data yang sudah kita siapkan dengan MINITAB atupun software lainnya.
4. Jika nilai p kurang dari nilai alpha kita dapat merejectkan Ho dan memilih Ha dengan tingkat keyakinan sebesar (1-p)*100% (karena kita melakukan two-tail test. Dan jangan lupa harga harga nilai p yang didapat dikalikan dengan 2 sebelum dibandingkan dengan nilai alpha.
5. Jika nilai p lebih dari atau sama dengan alpha maka bisa dikatakan bahwa kita tidak punya bukti yang kuat untuk merejectkan Ho .

Pengujian Perbedaan Rata-Rata antara 2 group dengan Variance yang berbeda

Pengujian hipotesis untuk rata-rata, pada umumnya menggunakan asumsi bahwa variasi dari 2 group yang diuji adalah sama. Jika asumsi tadi tidak bisa kita gunakan maka kita harus melakukan test yang pada statistical software MINITAB disebut dengan “Separate-Variance t-test” (Untuk Lebih lengkapnya silahkan pelajari tentang MINITAB).

Pengujian Perbedaan Variances antara 2 group yang berbeda

Kembali ke konsep awal bahwa untuk mengetahui apakah variasi antara 2 group yang akan diuji secara statistik dapat dianggap sama atau tidak, diperlukan suatu pengujian untuk menguji variance yang dikenal dengan F-test. Dan mengulang pembahasan sebelumnya bahwa jika variance kedua group yang diuji secara statistik bisa dianggap sama maka dapat menggunakann “pooled-variance t-test” tetapi jika tidak bisa dianggap sama maka digunakan “separate-variance t-test”. Persamaan umum pengujian variances yang sering dipakai :

Lagi, sebagai pengingat saja. Asumsi yang digunakan adalah bahwa data yang diuji terdistribusi secara normal. Namun untuk “mengatakan”itu perlu dilakukan pengujian terlebih dahulu. Pengujian yang perlu dilakukan yakni test “kenormalan” terhadap data-data kita sebelum F-test. Pengujian tersebut sudah tersedia di MINITAB. Langkah pengujian dua F-test untuk variances adalah sebagai berikut :

1. Definisikan parameter yang diuji dalam Ho dan Ha
2. Pilih confidence interval yang diinginkan, misalnya 95% atau 99% atau 99,9% (alpha =0,05 atau 0,01 atau 0,001).
3. Tentukan besar sampel dan lakukan Z-test pada data yang sudah kita siapkan dengan MINITAB atupun software lainnya.
4. Jika nilai p kurang dari nilai alpha kita dapat merejectkan Ho dan memilih Ha dengan tingkat keyakinan sebesar (1-p)*100% (karena kita melakukan two-tail test. Dan jangan lupa harga harga nilai p yang didapat dikalikan dengan 2 sebelum dibandingkan dengan nilai alpha.
5. Jika nilai p lebih dari atau sama dengan alpha maka bisa dikatakan bahwa kita tidak punya bukti yang kuat untuk merejectkan Ho . 

Analysis of Variances (ANOVA)

Jika diperhatikan sejauh ini penjelasan hanya menyentuh pada 2 group data saja. Lantas bagaimanakah kaidah pengujian untuk yang lebih dari 2 group data, misalnya : 4 group atau bahkan 10 group. Untuk menjawab “tuntutan” ini maka digunakanlah kaidah ANOVA.

Sebagai contoh saja kita mempunyai 4 group data, kita dapat mengujinya apakah keempat group tersebut mempunyai rata-rata yang sama ataukah tidak, Ingat hanya dalam sekali pengujian. Secara sederhana dapat ditampilkan dengan hipotesis berikut :

Ho = Semua rata-rata dari populasi adalah sama

Ha = Tidak semua rata-rata dari populasi adalah sama Jika kita bermaksud menguji hanya satu variable maka menu yang kita pilih adalah one-way ANOVA tetapi jika ada dua variable yang akan diuji maka menggunakan two-way ANOVA.

Dan mengingat pembahasan ANOVA sangat panjang, alangkah baiknya jika diperdalam dengan membaca buku-buku Statistik.

Wolfram Alpha – Perhitungan Statistik

Bagi mahasiswa statistik sudah tidak asing lagi menggunakan komputer sebagai alat perhitungan dan analisis statistik. Software seperti Eviews, Mathematica, SPSS, Excel, dll dapat digunakan untuk melakukan perhitungan statistik. Tapi bagaimana jika anda tidak mempunyai software – software itu? Jangan khawatir wolfram alpha memudahkan anda dalam melakukan perhitungan statistik.

Statistik Deskriptif

Kalau biasanya anda menggunakan Excel ataupun alat bantu seperti kalkulator anda dapat dengan mudah untuk melakukan perhitungan statistik deskriptif. Dokumentasinya dapat anda lihat disini

http://defantri.blogspot.com/2013/02/media-pembelajaran-matematika-dengan.html